Wprowadzenie pojęcia funkcji i jej wykresu

POJĘCIE FUNKCJI

Matematyka współczesna obejmuje jedno z podstawowych pojęć, którym jest właśnie pojęcie funkcji. Jego rola we współczesnych koncepcjach nauczania początkowego matematyki jest znacząca. Poprzez zrozumienie tego fundamentalnego pojęcia, a z tym równocześnie jego własności, następuje rozwój wielu umiejętności matematycznych na kolejnych etapach kształcenia. Bardzo ważne jest nie tylko werbalne opanowanie definicji pojęcia funkcji, ale przede wszystkim posługiwanie się nim podczas rozwiązywania problemów. Znaczenie tej umiejętności podkreślają słowa B. Stachurskiej:

„jest to warunkiem uczenia matematyki żywej, warunkiem widzenia matematyki w wielu problemach, z którymi może się zetknąć uczeń oraz widzenia możliwości stosowania pojęć
w samej matematyce oraz poza nią” [1]

Na początku wprowadzenie pojęcia funkcji przebiega bez naukowej terminologii. Już
w klasie pierwszej szkoły podstawowej poprzez odpowiednią organizację zabaw i ćwiczeń arytmetycznych, znajdując odpowiednie środki wyrazu, przykłady, kontrprzykłady, ilustracje graficzne, uczeń zostaje przygotowywany do zrozumienia tego pojęcia.
Z przyporządkowaniem możemy się spotkać nawet podczas zabawy, na przykład gdy polecamy dziecku dojść do pewnego celu. Mamy tu do czynienia z przyporządkowaniem dziecku punktu, do którego dojdzie. W zabawie, która polega na tym, że grupa dzieci ma dobiec w pewne ustalone miejsce, każdemu z punktów, w których stoją dzieci będzie przyporządkowany ten sam punkt. W tym wypadku będziemy mogli mówić o funkcji stałej.

Opracowując w nauczaniu początkowym działania arytmetyczne, spotykamy się
z funkcjami, którymi są, na przykład: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Polecamy dzieciom wykonanie następującego ćwiczenia:

Rys.1 [2]

W ćwiczeniu dane są liczby w górnym wierszu tabeli, natomiast zadaniem dzieci jest wpisanie w dolnym wierszu liczb, które są o 2 większe.

Dana tabela ustala przyporządkowanie.

Kolejne ćwiczenie polega na uzupełnieniu tabeli:

Rys.2 [2]

Uzupełnianie podzielone jest na dwie części. W pierwszej dzieci muszą wykonać dodawanie, a w drugiej części działanie odwrotne (odejmowanie). Dane ćwiczenie ma duże znaczenie, gdyż utrwala w umyśle dziecka ważny fakt o tym, że „funkcją odwrotną do funkcji dodać 3 jest funkcja odjąć 3”.[2]

W kolejnym etapie przygotowania do zrozumienia pojęcia funkcji pojawiają się bardziej skomplikowane tabelki. Ma to już miejsce w klasie drugiej.

Rys.3 [2]

Rys.4 [2]

Uczniowie spotykają się tutaj z funkcjami złożonymi i odwrotnymi do złożonych. Pracując nad takimi tabelkami, dzieci zauważają, że „funkcja dodać 6 złożona z funkcją odjąć 2 daje funkcję dodać 4”. [2]

Posługując się tabelkami z działaniami mnożenia i dzielenia można wykonywać podobne ćwiczenia.

Rys.5 [2]

Grafy to kolejny sposób wyrażania własności podstawowych działań. Punkty symbolizują liczby, natomiast strzałki są symbolem funkcji.

Rys.6 [2]

Rys.7.[2]

Rys.8 [2]

Rys.9 [2]

Rys.10 [2]

Pojęcie równoliczności zbiorów jest ilustrowane między innymi „za pomocą grafów strzałkowych jako przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne”. [2]

Rys.11 [2]

Rys.12 [2]

Graf strzałkowy powyżej przyporządkowuje parze liczb ich sumę.

W geometrii natomiast dziecko spotyka się z pewnym rodzajem funkcji podczas przyporządkowywania odcinkom ich długości, figurom płaskim ich pola, bryłom - objętości.

Na kolejnym etapie kształcenia ( I klasa gimnazjum) wprowadza się zagadnienia związane z pojęciem funkcji, a w tym definicję funkcji. Cel tego wprowadzenia polega na tym, aby uczniowie coraz lepiej rozumieli samo pojęcie, pojmowali go na coraz wyższym poziomie. Ma ono również za zadanie rozwijać umiejętność posługiwania się tym pojęciem
w różnych sytuacjach zadaniowych i problemowych. „Pojęcia na kolejnych poziomach kształcenia ujmowane są z innej perspektywy, ich znaczenie rozszerza się”. [1]

Gdy już jesteśmy po etapie nawiązania do doświadczeń dziecka i po przeanalizowaniu wielu przykładów z życia codziennego, można określić funkcję jako „przyporządkowanie każdemu elementowi pewnego zbioru dokładnie jednego elementu drugiego zbioru”.[2]

Należy dołożyć starań, aby przyporządkowanie to miało „intuicyjną przejrzystość
w umyśle dziecka”. [2]

Uczniowie poznają pojęcia: dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości. Istotną rolę
w kształtowaniu pojęcia funkcji pełnią sposoby jej przedstawiania w formie: opisu słownego, wzoru, wykresu, grafu, tabelek, zbioru par czy analizowania zależności w danych sytuacjach. Dają one możliwość spojrzenia i rozpatrywania pojęcia funkcji w różny sposób.

Przy wprowadzeniu wykresu funkcji liniowej najpierw podajemy wzór funkcji. Następnie uczniowie wyznaczają kilka argumentów (im więcej tym lepiej). Zwracamy się
z poleceniem do uczniów, aby zaznaczyli te argumenty w układzie współrzędnych. Po czym następuje rozmowa o tym: „Co zauważyliście?” itp. Chodzi o to, aby uczniowie zauważyli, że punkty układają się współliniowo. Należy ułatwiać to uczniom poprzez zagęszczanie punktów. Istotne jest tutaj to, aby uczeń odkrywał to, że wykresem funkcji liniowej jest prosta. Najlepszym sposobem, aby zauważyć, że tym wykresem jest linia prosta jest praca
z komputerem. Gdy już „padnie” stwierdzenie, że wykresem funkcji liniowej jest linia prosta, można przejść do rysowania wykresu za pomocą dwóch punktów.

Uczniowie wykonują wykresy funkcji liniowych, odczytują na podstawie wykresu podstawowe własności funkcji, wyznaczają miejsca zerowe. Kolejno wprowadzamy pojęcie funkcji rosnącej, malejącej, stałej. Przedstawiamy przykłady funkcji, których wykresami są parabole i hiperbole. Istotną rolę na początku nauki o funkcjach odgrywa prezentacja dostatecznie dużo przykładów.

Uczniowie podejmując naukę w szkołach średnich posiadają już pewne przygotowanie. Mają naświetlone ogólne pojęcie o funkcji, potrafią obliczać wartości wyrażeń wymiernych
i sporządzać wykresy w prostokątnym układzie współrzędnych. Wiedzą czym jest funkcja liniowa i znają jej własności, potrafią rozpoznać funkcję rosnącą, malejącą i stałą.

Klasa pierwsza szkoły średniej jest przypomnieniem, uzupełnieniem
i usystematyzowaniem wiadomości przekazywanych uczniom w szkole podstawowej
i gimnazjum. Zwraca się uwagę na przesunięcia i symetrie wykresów funkcji. Wprowadzone zostają pojęcia: funkcji odwrotnej, funkcji parzystej, funkcji nieparzystej, funkcji okresowej, funkcji złożonej. Pojęcia, które uczniowie poznali do tej pory są uściślane i poszerzane, Rozpatrywane są również przykłady o znacznie wyższym stopniu trudności. „Wiedzę dotyczącą pojęcia funkcji na poziomie akademickim już od lat buduje się w oparciu o następującą definicję:

Niech X i Y oznaczają dowolne zbiory niepuste. Odwzorowaniem określonym w zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie (pewną metodą) każdemu elementowi xєX jakiegoś elementu yєY. Zapiszemy to f:X→Y, gdzie f jest symbolem tego odwzorowania. Odwzorowanie, dla którego każdemu przyporządkowano dokładnie jeden yєY nazywamy funkcją”. [1]

Funkcja

Definicja funkcji:

• Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y.
• Odwzorowując jak wyżej zbiór X w zbiór Y tworzymy zbiór uporządkowanych par (x,y), czyli par (x,f(x)), gdzie xєX i yєY.

Zbiór tych par jest podzbiorem X ×Y.

http://portalwiedzy.onet.pl/23623,,,,funkcja,haslo.html

Granica funkcji

Definicja Heinego

• Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę równą g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_nє)_nєN, gdzie x_nєD o wyrazach x_n ≠ x₀, ciąg wartości funkcji (x, f(x)) jest zbieżny do g.

Definicja Cauchy’ego

• Funkcja f(x) a w punkcie x₀ granicę równą g , jeżeli dla każdej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0, że dla każdego xєS(x_0; δ)∩D_f spełniony jest warunek |f(x) - g| < ε

Uwaga: Definicje Heinego i Cauchy’ego są równoważne.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_funkcji

Twierdzenia o granicy funkcji

• Granica sumy (różnicy) dwóch funkcji w punkcie jest równa sumie (różnicy) granic tych funkcji w tym punkcie, tzn. jeżeli i , to

• Granica iloczynu dwóch funkcji w punkcie równa jest iloczynowi granic tych funkcji w tym punkcie, tzn. jeżeli i , to:

• Granica ilorazu dwóch funkcji w punkcie x₀ równa jest ilorazowi granic tych funkcji w tym punkcie, tzn. jeżeli

oraz b¹0 oraz istnieje otoczenie punktu x₀, w którym g(x)¹0, to

Ciągłość funkcji

Jedną z najważniejszych własności funkcji jest ciągłość.

Posługując się intuicją, funkcję rzeczywistą, która jest określona na przedziale liczbowym możemy nazwać ciągłą wtedy, gdy jej wykres da się narysować nie odrywając ołówka od papieru. Czynność rysowania jest w tym wypadku abstrakcyjna, nieograniczona
w czasie ani przestrzeni, tzn. dopuszczamy "narysowanie" linii nieskończenie długiej.

Intuicją tą nie możemy się kierować, gdy mamy do czynienia z funkcjami, których dziedzina nie jest przedziałem, czyli takimi, których wykresów nie da się "narysować jednym pociągnięciem ołówka", dlatego, że składają się z osobnych gałęzi. Wymienić tu możemy funkcję homograficzną, której wykres jest złożony z dwu gałęzi czy też funkcję trygonometryczną tangens (nieskończony ciąg gałęzi). Należy jednak pamiętać, że na każdej spójnej składowej dziedzin poszczególne gałęzie wykresu zachowują przedstawioną intuicyjną własność.

o Funkcję f zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcją ciągłą w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli:

1° funkcja f ma w punkcie granicę g,

2° granica g jest równa wartości .

o Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

o Funkcja f jest ciągła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale oraz i .

http://matma4u.akcja.pl/twierdzenia/rozniczki/cf.htm

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_8:_Granica_i_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji

Różniczkowalność funkcji

• Funkcję f zmiennej rzeczywistej określoną w pewnym otoczeniu punktu nazywamy różniczkowalną w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna funkcji f w punkcie .
• Funkcję nazywamy różniczkowalną w zbiorze (przedziale), jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru (przedziału).

„Obrazowo mówiąc wszystkie funkcje, których wykresy są liniami ciągłymi w danym przedziale i nie mają ostrych załamań, są w tym przedziale różniczkowalne.”

Interpretacja geometryczna funkcji różniczkowalnej w punkcie:

Pochodna jest równa tangensowi kąta α, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcji w punkcie .

Jeżeli w punkcie o odciętej istnieją skończone granice ilorazu różnicowego: lewostronna i prawostronna, które są sobie równe to funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie.

Z twierdzenia wiemy też, że jeżeli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie to jest w nim także ciągła, jednak twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe (np. funkcja y = |x| jest ciągła, ale nie różniczkowalna dla x = 0).

Poglądowo intuicyjne wprowadzanie pojęcia funkcji w szkole

Funkcje w szkole przedstawiamy za pomocą:

• słów;
  

• tabelki;

• wykresu;

• grafu;

• równania.

<- poprzedni temat | spis tematów | następny temat ->

Miara - ujęcie teoretyczne i metodologiczne. Związek miary z całką.

Miara – trochę teorii

W matematyce miarą nazywamy taką funkcję, która służy do określenia „wielkości” zbioru poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby. Pojęcie miary miało za zadanie usystematyzować zagadnienia dotyczące długości, pola powierzchni czy objętości. Aby „miara” zbioru miała zamierzony sens, konieczne jest wprowadzenie tego pojęcia również dla pewnych podzbiorów tego zbioru.

Okazuje się jednak, że nie jest możliwe przypisanie miary każdemu z jego podzbiorów, temu też nie wymaga się w jej definicji. Istnieją jednak pewne warunki określające, jakim podzbiorom można przypisać wielkość za pomocą miary. Określone one są w pojęciu przestrzeni mierzalnej.

W zależności od potrzeb „miara” zbioru może oznaczać jego liczność, ilość elementów posiadających jakąś pewną cechę lub prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zdarzenia.

Zanim zdefiniujemy pojęcie miary wprowadźmy pojęcie σ-ciała:

σ-ciałem nazywamy niepustą rodzinę podzbiorów zbioru X spełniającą następujące warunki:

a) X є M (zbiór X należy do σ-ciała)

b) Ø є M (zbiór pusty należy do σ-ciała)

c) A₁, A₂, … є M =>_i=1U∞ A_i єM (przeliczalna suma podzbiorów zbioru X należy do σ-ciała)

d) A₁, A₂ є M => A₁\ A₂ є M (różnica dowolnych podzbiorów zbioru X należy do σ-ciała)

e) A₁, A₂, … є M =>_i=1∩∞ A_i є M (część wspólna przeliczalnej ilości podzbiorów zbioru X należy do σ-ciała)

Definicja formalna:

Miarą nazywamy funkcję μ określoną na σ-ciele podzbiorów danego zbioru X w przedział [0, +∞) spełniająca następujące warunki:

1) μ(Ø) = 0

miara zbioru pustego wynosi 0.

2) dla każdych A₁, A₂, … є M jeśli A_i ∩ A_j (i≠j) to μ (_n=1U∞A_n) = μ (_n=1Σ∞ μ (A_n))

miara sumy przeliczalnie wielu parami rozłącznych podzbiorów zbioru X jest równa ich sumie miar.

Związek miary z całką

Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o bardziej skomplikowanej strukturze niż przedziały prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się najczęściej w teorii prawdopodobieństwa i wielu działach analizy matematycznej. Całkę można utożsamić z polem powierzchni ograniczonym wykresem funkcji i osią odciętych na pewnym przedziale [a, b]. Pomimo, że w szkolnej geometrii używamy tzw. miary Jordana istnieje wiele różnych innych miar oraz różne oparte o nie pojęcia całki.

Zajmijmy się teraz najważniejszymi twierdzeniami dotyczącymi zastosowania całki przy obliczaniu długości, pól oraz objętości.

Twierdzenie I:

Jeśli Ø jest funkcją pierwotną funkcji f: [a, b] -> R ciągłej w [a, b] to

_a∫^b f (x) dx = Ø(b) – Ø(a)

W tekście wykorzystano materiały z Wikipedii

http://pl.wikipedia.org/wiki/Miara_%28matematyka%29

<- poprzedni temat | spis tematów | następny temat ->