Egzamin licencjacki z matematyki w KNBB

Zakres szkoły podstawowej.

RÓWNANIA: ax+b=0

Jeżeli dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączmy symbolem „=”, to otrzymamy równanie. Zmienną(zmienne) nazywamy wtedy niewiadomą(niewiadomymi). Część wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których utworzone jest równanie, nazywamy dziedziną równania. Na ogół dziedziną równań jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Np.x+3=8; 3(x+5)=2x+20; 2x=8.

Są to równania z jedną niewiadomą, gdyż występuje w nich tylko jedna zmienna. Dziedziną ich jest zbiór liczb R. Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy liczbę należącą do dziedziny równania, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej zmienia to równanie w równość(tzn. w zdanie prawdziwe). Jeśli pewna liczba jest rozwiązanie równania, to mówimy, że spełnia ona to równanie. Rozwiązać równanie, tzn. znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania. Zbiór może się składać z jednego lub z kilku rozwiązań, może być zbiorem pustym lub nieskończonym.

Np. równanie 2x+1=5 ma jedno rozwiązanie x=2 (dla a0 x=)

Równanie x=1 ma dwa rozwiązania x1=1, x2=-1

Równanie x=-4 nie ma rozwiązania, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną

Równanie 2x+6=2(x+3) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania (dla a=0 i b=0).

Dwa równania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Równania rozwiązujemy przekształcając je równoważnie, wykorzystując twierdzenia o równoważności równań.

Twierdzenie 1

Jeżeli po jednej lub po obu stronach równania wykonamy występujące tam działania albo przeprowadzimy redukcje wyrazów podobnych, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Np.3(x+5)-2(2x+4)=10-3x wykonujemy mnożenie po lewej stronie

3x+15-4x-8=10-3x wykonujemy redukcje wyrazów podobnych po lewej stronie

-x+7=10-3x

Twierdzenie 2

Jeżeli do obu stron równania dodamy( lub od obu stron równania odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu.

Np. –x+7=10-3x |+3x

–x+7+3x =10-3x+3x |-7

–x+7+3x-7 =10-3x+3x-7 | redukcja wyrazów podobnych

-x=3x=10-7

2x=3

W praktyce mówmy o przenoszeniu jednomianów(wyrazów równania) z jednej strony równania na drugą, z przeciwnym znakiem.

Twierdzenie 3

Jeśli obie strony równania pomnożymy(podzielimy) przez te samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Np. 2x=3 |:2

x=1,5 Rozwiązaniem równania jest liczba 1,5.

RÓWNANIA LINIOWE

Równanie, które po przekształceniach równoważnych można sprowadzić do postaci ax+b=0, gdzie a i b są ustalonymi liczbami, a x – niewiadomą, nazywamy równaniem liniowym lub równaniem pierwszego stopnia w przypadku, gdy a0. Aby rozwiązać równanie, szukamy miejsc zerowych funkcji liniowej xax+b

Np.a).2(x+2)-4(1-x)=4x+4 lub b). (2x+3) -(3x+9)=(x+3)(x-3)+3x

Przy rozwiązywaniu równań stosujemy Tw.1, Tw.2, Tw.3, co układa się nam w schemat:

1) Po obu stronach równania wykonujemy występujące tam działania.

2) Jednomiany zawierające niewiadomą poznosimy na jedną stronę równania, a jednomiany będące liczbami-na drugą stronę. Przenosząc jednomian z jednej strony na drugą, zmieniamy znak tego jednomianu na przeciwny.

3) Po obu stronach równania przeprowadzamy redukcje wyrazów podobnych.

4) Obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej.

Rozwiązując równania:

Np. a). x=2 lub b). x=-1 –rozwiązaniem równania jest liczba

c).3(x+2)=2(x+1)+x+4

0*x=0 - rozwiązaniem jest każda liczba R, bo 0*[cokolwiek]=0.

d).4(x+1)-3(2x+3)=-2+8

0*x=13 -równanie nie ma rozwiązania.

NIERÓWNOŚCI LINIOWE

Jeżeli dwa wyrażenia algebriczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączymy jednym z symboli„>” lub „”to otrzymamy nierówność. Zmienna występująca w nierówności to niewiadoma. Cześć wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których jest utworzona nierówność, nazywamy dziedziną nierówności. Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy taką liczbę (należącą do dziedziny nierówności), która podstawiona do nierówności w miejsce niewiadomej zamienia tę nierówność w zadanie prawdziwe. Jeśli pewna liczba jest rozwiązaniem danej nierówności, to mówimy, że spełnia ona tę nierówność. Rozwiązać nierówność tzn. znaleźć jej zbiór rozwiązań.

Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, gdy mają te same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Nierówności rozwiązujemy wykorzystując twierdzenia o równoważności nierówności:

Twierdzenie 1

Jeżeli po jednej lub po obu stronach nierówności wykonamy występujące tam działania a, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 2

Jeżeli do obu stron nierówności dodamy( lub od obu stron nierówności odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 3

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę dodatnią różną od zera, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 4

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę ujemną zmieniając jednocześnie zwrot tej nierówności na przeciwny, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Jeżeli nierówność po uporządkowaniu ma postać ax+b>0, ax+b0, ax+b<0, style="">0, to nazywamy ją nierównością liniową.

Np.a).3x+1->4x-2 |*4 (z Tw.3)

12x+4-x+3>16x-8 (z Tw.2)

12x-3-16x>-8-4-3 (z Tw.1)

-5x>-15

x<3>

Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb R mniejszych od 3.

Rozwiązanie algebraiczne: x(-,3)

Rozwiązanie graficzne:

b).(x-2) <(x+3)(x-3)-(4x+5)

0<-18 zdanie fałszywe

Oznacza to pusty zbiór rozwiązań, bo żadna liczba nie spełnia tej nierówności.

c).2x+1>0

Zbiorem rozwiązań jest R, ponieważ kwadrat dowolnej liczby R jest liczba nieujemną, więc rozwiązaniem jest tu każda liczba rzeczywista.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE

Równanie postaci ax+bx+c=0, gdzie a0 nazywamy równaniem kwadratowym.

Aby rozwiązać równanie(postaci ax+c=0), szukamy miejsc zerowych funkcji

x ax+c

Np. a) (x-1) +(2x+4)=2x+9

x=-4 Równanie to nie ma rozwiązania, gdyż nie ma liczby R, której kwadrat jest liczbą ujemną.

b). 10(x-1)+(3x-1) =(2x+1) +(2x+3) (2x-3)

x-1=0

(x-1)(x+1)=0

x1=1 lub x2=-1 Równanie to ma dwa rozwiązania.

Nierówności kwadratowe w postaci ax+c>0 lub ax+c<0 style=""> kwadratowej. Aby rozwiązać nierówności w tej postaci, szukamy odpowiedzi na pytanie, dla jakich argumentów x funkcja x ax+c przyjmuje odpowiednio wartości dodatnie lub ujemne.

Np. x-9>0 Rysujemy wykres funkcji y= x-9

Z wykresu odczytujemy dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie

Dla x<-3 lub x>3

Np. x+4<0 Cały wykres funkcji y= x+4 jest powyżej osi x.

Oznacza to, że dla każdej wartości argumentu x wartość tej funkcji jest dodatnia. Dlatego zbiorem nierówności jest zbiór pusty.

ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH

Aby rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania lub nierówności postępujemy następująco:

1) Obieramy niewiadomą i oznaczamy ją dowolną literą, np.x.

2) Za pomocą obranej niewiadomej i danych z zadania wyrażamy wielkości występujące w zadaniu.

3) Wyszukujemy wielkość występującą w zadaniu, którą możemy opisać za pomocą niewiadomej i danych na dwa różne sposoby.

4) Układamy równanie(nierówność).

5) Sprawdzamy, które rozwiązania równania(nierówności) spełniają warunki zadania.

6) Formułujemy odpowiedź.

Np. Spośród czterech liczb każda następna jest o 4 mniejsza od poprzedniej. Iloczyn pierwszej i drugiej tych liczb jest

Rozwiązanie: x-największa z szukanych liczb

x-4 – II liczba

x-8 – III licza

x-12 – IV liczba najmniejsza

Po uwzględnieniu warunku podanego w zadaniu otrzymujemy:

x(x-4)=(x-8)(x-12)+224

16x=320

Stąd: x=20, x-4=16, x-8=12, x-12=8

Otrzymamy liczby spełniają warunki zadania, gdyż 20*16=320, 12*8=96, i 320-96=224

Odp: Szukanymi liczbami są: 20, 16, 12, 8.

UKŁADY RÓWNAŃ

Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci ax+by+c=0 (gdzie x, y – niewiadome , a, b, c – ustalone liczby a0 b0) lub równanie równoważne danemu. Równoważność równań z dwiema nie wiadomymi rozumiemy podobnie jak równoważność równań z jedną niewiadomą. Słuszne też są dla nich analogiczne twierdzenia o równoważności równań. Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniających to równanie np. 2x+y=5 sa pary (0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, -1) itp.

Takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli dane są dwa równania z dwiema niewiadomymi i szukamy par liczb, które spełniają jednocześnie każde z danych równań, to, mówimy, że dane równania tworzą układ równań. Rozwiązaniem układu równań nazywamy każdą parę liczb spełniających jednocześnie oba równania. Rozwiązać układ równań tzn. znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań.

METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ.

Graficzna
Algebraiczna

ü Metoda podstawiania,

ü Metoda przeciwnych współczynników

Metoda podstawiania

Np.

Najpierw z któregoś równania wyznaczmy jedną niewiadomą (wyrażamy za pomocą drugiej niewiadomej) i otrzymane wyrażenie podstawiamy w miejsce wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania.

Wyznaczamy y z I równania i podstawiamy w miejsce y do drugiego równania. Powstaje układ równoważny danemu.

Rozwiązujemy ten układ:

Rozwiązaniem jest para liczb (1, 2).

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda ta polega na umiejętnym wykorzystaniu twierdzenia.

Twierdzenie

Jeżeli w układzie równań dodamy stronami równania, to otrzymamy równanie, które wraz dowolnym równaniem układu tworzy nowy układ równań, równoważny danemu.

Np.

Najpierw tak mnożymy obie strony jednego (lub obu równań) przez liczbę dobraną tak, by otrzymać równania, w których współczynniki przy jednej niewiadomej będą liczbami przeciwnymi.