Miara – trochę teorii
W matematyce miarą nazywamy taką funkcję, która służy do określenia „wielkości” zbioru poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby. Pojęcie miary miało za zadanie usystematyzować zagadnienia dotyczące długości, pola powierzchni czy objętości. Aby „miara” zbioru miała zamierzony sens, konieczne jest wprowadzenie tego pojęcia również dla pewnych podzbiorów tego zbioru.
Okazuje się jednak, że nie jest możliwe przypisanie miary każdemu z jego podzbiorów, temu też nie wymaga się w jej definicji. Istnieją jednak pewne warunki określające, jakim podzbiorom można przypisać wielkość za pomocą miary. Określone one są w pojęciu przestrzeni mierzalnej.
W zależności od potrzeb „miara” zbioru może oznaczać jego liczność, ilość elementów posiadających jakąś pewną cechę lub prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zdarzenia.
Zanim zdefiniujemy pojęcie miary wprowadźmy pojęcie σ-ciała:
σ-ciałem nazywamy niepustą rodzinę podzbiorów zbioru X spełniającą następujące warunki:
a) X є M (zbiór X należy do σ-ciała)
b) Ø є M (zbiór pusty należy do σ-ciała)
c) A1, A2, … є M =>i=1U∞ Ai єM (przeliczalna suma podzbiorów zbioru X należy do σ-ciała)
d) A1, A2 є M => A1\ A2 є M (różnica dowolnych podzbiorów zbioru X należy do σ-ciała)
e) A1, A2, … є M =>i=1∩∞ Ai є M (część wspólna przeliczalnej ilości podzbiorów zbioru X należy do σ-ciała)
Miarą nazywamy funkcję μ określoną na σ-ciele podzbiorów danego zbioru X w przedział [0, +∞) spełniająca następujące warunki:
1) μ(Ø) = 0
miara zbioru pustego wynosi 0.
2) dla każdych A1, A2, … є M jeśli Ai ∩ Aj (i≠j) to μ (n=1U∞An) = μ (n=1Σ∞ μ (An))
miara sumy przeliczalnie wielu parami rozłącznych podzbiorów zbioru X jest równa ich sumie miar.
Związek miary z całką
Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o bardziej skomplikowanej strukturze niż przedziały prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się najczęściej w teorii prawdopodobieństwa i wielu działach analizy matematycznej. Całkę można utożsamić z polem powierzchni ograniczonym wykresem funkcji i osią odciętych na pewnym przedziale [a, b]. Pomimo, że w szkolnej geometrii używamy tzw. miary Jordana istnieje wiele różnych innych miar oraz różne oparte o nie pojęcia całki.
Zajmijmy się teraz najważniejszymi twierdzeniami dotyczącymi zastosowania całki przy obliczaniu długości, pól oraz objętości.
Twierdzenie I:
Jeśli Ø jest funkcją pierwotną funkcji f: [a, b] -> R ciągłej w [a, b] to
a∫b f (x) dx = Ø(b) – Ø(a)
W tekście wykorzystano materiały z Wikipedii
http://pl.wikipedia.org/wiki/Miara_%28matematyka%29
<- poprzedni temat | spis tematów | następny temat ->