Egzamin licencjacki z matematyki w KNBB

Uwagi studentów co do opracowania tematów

Witajcie drogie koleżanki i drodzy koledzy.
Jeśli macie jakieś uwagi, propozycje co do opracowywanych tematów na blogu - napiszcie komentarz :) Dzięki temu będziemy wiedzieli czy przynosi on zamierzone efekty oraz co jeszcze trzeba dopracować.

Pozdrawiamy

Algebra w szkole podstawowej. Struktury algebraiczne zbiorów liczbowych.

Algebra w szkole podstawowej jest dużo uboższa od tej poznawanej w szkole średniej czy na studiach matematycznych. Przeglądając podręczniki i zbiory zadań z matematyki dla klas V i VI szkoły podstawowej pojawiają się takie zagadnienia jak:

· Nazywanie wyrażeń algebraicznych;

· Zapisywanie wyrażeń algebraicznych przy za pomocą liter, liczb i znaków działań;

· Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych;

· Redukcja wyrazów podobnych;

· Rozwiązywanie równań i nierówności z jedną niewiadomą;

· Rozwiązywanie zadań tekstowych;

<- poprzedni temat | spis tematów | następny temat ->

Zadania matematyczne i ich rola w nauczaniu matematyki.

Podział zadań według Krygowskiej:
Zadania metodologiczne – do zadań tego typu zaliczamy zadnia na „definiowanie”. Zadania metodologiczne pojawiają się w sytuacjach kiedy uczeń uświadomił sobie już intuicyjnie jakiś matematyczny obiekt i ma za zadanie sformułować jego definicje w ramach pewnej teorii (np. definiowanie prostej prostopadłej do płaszczyzny). Zadaniami metodologicznymi mogą być w pewnych sytuacjach zadania, których rozwiązanie polega na wyszukaniu przez ucznia błędu lub luki w rozumowaniu.

Zadania ćwiczeniowe (ćwiczenia) – to zadania wymagające aktywności odtwórczych, zastosowania znanych schematów, wzorów, wykonania typowych działań, powtarzania rozwiązania w analogicznej sytuacji.
Rozwiązując te zadania uczeń w znikomym stopniu wykorzystuje teorie oraz nie jest zaangażowany twórczo. Aktywność ucznia ogranicza się do wyboru odpowiedniego gotowego wzoru i wykonaniu dalszych czynności według tego wzoru.

Zadania zwykłe zastosowania teorii – to zadania wymagającej zróżnicowanej aktywności i samodzielności; niejednokrotnie sprowadzają się do matematycznych sytuacji opisanej w treści zadania, nasuwającej się w sposób naturalny, bez potrzeby sięgania do szczególnych pomysłów, i ile oczywiście uczeń rozporządza wiadomościami, które umożliwiają mu bezpośrednie rozwiązanie zadania
Uczniowie postępują w trakcie rozwiązywania zgodnie z pewnymi sposobami znanymi z rozwiązywania zadań podobnych.

Zadania problemy – to zwykłe zadania otwarte, jeśli chodzi o metodę, których nie da się natychmiast rozwiązać za pomocą poznanego wzoru czy schematu, zawierające trudności o charakterze teoretycznym lub praktycznym, prowokujące do poszukiwań, aktywności badawczej, tworzenia nowych konstrukcji, nowej wiedzy, do wypracowania racjonalnej metody itd., która może przybliżyć lub umożliwić ostateczne rozwiązanie problemu.
Tego typu zadania powinny być stawiane przed uczniami przeciętnymi, nie rezerwowane tylko dla uczniów uzdolnionych. Każdy uczeń powinien przeżyć przygodę matematyczną na swoją miarę. Oczywiście realizacja tego postulatu wymaga ogromnego taktu pedagogicznego, znajomości uczniów, indywidualizacji nauczania.

Zadania gry i zabawy – współcześni dydaktycy matematyki przywiązują wielką uwagę do roli gier i zabaw w procesie nauczania i uczenia się matematyki, w szczególności na niższym sposobie nauczania . Zabawy i gry mogą zawierać treść matematyczną, zasady gry mogą być oparte na niebanalnej strukturze, a poszukiwanie startego wygrania może być związane z odkrywaniem własności tej struktury, rozwiązywaniem matematycznych zadań i stosowaniem wiadomości matematycznych poprzednio poznanych. Gra sprzyja rozbudzeniu aktywności intelektualnej., a chęć wygranej stanowi często motywacje, której transfer na inne zagadnienia, już poza grą, w procesie uczenia się matematyki obserwuje się bardzo często.

Zadania matematyczne niespodzianki – uczącego się matematyki na każdym poziomie uderzają nowe, niespodziewane dla niego regularności w obserwowanych matematycznych faktach lub pewne niespodziewane sprzeczności tego, co obserwuje lub otrzymuje w wyniku rozumowania, z tym co mu nasuwa intuicja i poprzednie doświadczenie. Do zadań niespodzianek należą znane z podręczników tak zwane pozorne paradoksy, polegające na tym, ze sformułowanie zadania, towarzyszący mu rysunek lub jedno i drugie prowokują ucznia do popełnienia błędu w rozumowaniu. Otrzymany wniosek zaskakuje ucznia swą wyraźną fałszywością, a sugestia tematu i rysunku jest tak silna, ze uczeń nie wątpi w poprawność swego rozumowania. Sprzeczność zostaje wyjaśniona, gdy uczeń błąd odkryje.

Zadania zastosowania matematyki – stosowanie matematyki, to rozwiązywanie problemów poza matematycznych środkami matematyki . Uczeń, stosując przyswojony teoretycznie aparat matematyczny, nabywa sprawności w jego użytkowaniu. Uczy się racjonalnego wyboru odpowiednich środków matematycznych w celu rozwiązania zagadnień poza matematycznych i konstruowania matematycznych modeli do tych sytuacji. Uświadamia sobie role matematyczne w świecie.

Podział zadań według Z. Cackowska :
a) zadania – ćwiczenia, ułatwiają kształtowanie i utrwalanie technik rachunkowych, uczą twórczego posługiwania się poznanymi prawami i własnościami działań arytmetycznych;

b) zadania praktyczne (ruchowo-manipulacyjne i graficzne), ułatwiają sens pojęć i operacji matematycznych, wiążą matematykę z życiem i przygotowują uczniów do rozwiązywania różnych problemów;

c) zadania logiczne (gry, zabawy, łamigłówki, zagadki), sprzyjają wielostronnej aktywizacji i rozwijania myślenia, skłaniając uczniów do wykonywania wielu operacji myślowych oraz rozumowań logicznych, uczą pomysłowości i oryginalności w podejściu do zadań;

d) zadania tekstowe, pozwalają na łączną realizację wszystkich wymienionych celów, stanowią podstawę pracy na edukacji matematycznej zarówno przy wprowadzaniu nowego materiału jak i przy zastosowaniu nabytych wiadomości

W teksie zostały wykorzystane materiały z:
http://www.literka.pl/rozwiazywanie-zadan-matematycznych-w-klasach-i---iii,artykul,15587,drukuj.html#_ftn8
Krygowska Zofia, Zarys dydaktyki matematyki część 3.

<- poprzedni temat | spis tematów | następny temat ->

Metody rozwiązywanie równań, nierówności i ich układów(równoważności, analiza starożytnych, metoda graficzna).

Zakres szkoły podstawowej.

RÓWNANIA: ax+b=0

Jeżeli dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączmy symbolem „=”, to otrzymamy równanie. Zmienną(zmienne) nazywamy wtedy niewiadomą(niewiadomymi). Część wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których utworzone jest równanie, nazywamy dziedziną równania. Na ogół dziedziną równań jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Np.x+3=8; 3(x+5)=2x+20; 2x=8.

Są to równania z jedną niewiadomą, gdyż występuje w nich tylko jedna zmienna. Dziedziną ich jest zbiór liczb R. Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy liczbę należącą do dziedziny równania, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej zmienia to równanie w równość(tzn. w zdanie prawdziwe). Jeśli pewna liczba jest rozwiązanie równania, to mówimy, że spełnia ona to równanie. Rozwiązać równanie, tzn. znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania. Zbiór może się składać z jednego lub z kilku rozwiązań, może być zbiorem pustym lub nieskończonym.

Np. równanie 2x+1=5 ma jedno rozwiązanie x=2 (dla a0 x=)

Równanie x=1 ma dwa rozwiązania x1=1, x2=-1

Równanie x=-4 nie ma rozwiązania, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną

Równanie 2x+6=2(x+3) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania (dla a=0 i b=0).

Dwa równania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Równania rozwiązujemy przekształcając je równoważnie, wykorzystując twierdzenia o równoważności równań.

Twierdzenie 1

Jeżeli po jednej lub po obu stronach równania wykonamy występujące tam działania albo przeprowadzimy redukcje wyrazów podobnych, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Np.3(x+5)-2(2x+4)=10-3x wykonujemy mnożenie po lewej stronie

3x+15-4x-8=10-3x wykonujemy redukcje wyrazów podobnych po lewej stronie

-x+7=10-3x

Twierdzenie 2

Jeżeli do obu stron równania dodamy( lub od obu stron równania odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu.

Np. –x+7=10-3x |+3x

–x+7+3x =10-3x+3x |-7

–x+7+3x-7 =10-3x+3x-7 | redukcja wyrazów podobnych

-x=3x=10-7

2x=3

W praktyce mówmy o przenoszeniu jednomianów(wyrazów równania) z jednej strony równania na drugą, z przeciwnym znakiem.

Twierdzenie 3

Jeśli obie strony równania pomnożymy(podzielimy) przez te samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Np. 2x=3 |:2

x=1,5 Rozwiązaniem równania jest liczba 1,5.

RÓWNANIA LINIOWE

Równanie, które po przekształceniach równoważnych można sprowadzić do postaci ax+b=0, gdzie a i b są ustalonymi liczbami, a x – niewiadomą, nazywamy równaniem liniowym lub równaniem pierwszego stopnia w przypadku, gdy a0. Aby rozwiązać równanie, szukamy miejsc zerowych funkcji liniowej xax+b

Np.a).2(x+2)-4(1-x)=4x+4 lub b). (2x+3) -(3x+9)=(x+3)(x-3)+3x

Przy rozwiązywaniu równań stosujemy Tw.1, Tw.2, Tw.3, co układa się nam w schemat:

1) Po obu stronach równania wykonujemy występujące tam działania.

2) Jednomiany zawierające niewiadomą poznosimy na jedną stronę równania, a jednomiany będące liczbami-na drugą stronę. Przenosząc jednomian z jednej strony na drugą, zmieniamy znak tego jednomianu na przeciwny.

3) Po obu stronach równania przeprowadzamy redukcje wyrazów podobnych.

4) Obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej.

Rozwiązując równania:

Np. a). x=2 lub b). x=-1 –rozwiązaniem równania jest liczba

c).3(x+2)=2(x+1)+x+4

0*x=0 - rozwiązaniem jest każda liczba R, bo 0*[cokolwiek]=0.

d).4(x+1)-3(2x+3)=-2+8

0*x=13 -równanie nie ma rozwiązania.

NIERÓWNOŚCI LINIOWE

Jeżeli dwa wyrażenia algebriczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączymy jednym z symboli„>” lub „”to otrzymamy nierówność. Zmienna występująca w nierówności to niewiadoma. Cześć wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których jest utworzona nierówność, nazywamy dziedziną nierówności. Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy taką liczbę (należącą do dziedziny nierówności), która podstawiona do nierówności w miejsce niewiadomej zamienia tę nierówność w zadanie prawdziwe. Jeśli pewna liczba jest rozwiązaniem danej nierówności, to mówimy, że spełnia ona tę nierówność. Rozwiązać nierówność tzn. znaleźć jej zbiór rozwiązań.

Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, gdy mają te same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Nierówności rozwiązujemy wykorzystując twierdzenia o równoważności nierówności:

Twierdzenie 1

Jeżeli po jednej lub po obu stronach nierówności wykonamy występujące tam działania a, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 2

Jeżeli do obu stron nierówności dodamy( lub od obu stron nierówności odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 3

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę dodatnią różną od zera, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 4

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę ujemną zmieniając jednocześnie zwrot tej nierówności na przeciwny, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Jeżeli nierówność po uporządkowaniu ma postać ax+b>0, ax+b0, ax+b<0, style="">0, to nazywamy ją nierównością liniową.

Np.a).3x+1->4x-2 |*4 (z Tw.3)

12x+4-x+3>16x-8 (z Tw.2)

12x-3-16x>-8-4-3 (z Tw.1)

-5x>-15

x<3>

Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb R mniejszych od 3.

Rozwiązanie algebraiczne: x(-,3)

Rozwiązanie graficzne:

b).(x-2) <(x+3)(x-3)-(4x+5)

0<-18 zdanie fałszywe

Oznacza to pusty zbiór rozwiązań, bo żadna liczba nie spełnia tej nierówności.

c).2x+1>0

Zbiorem rozwiązań jest R, ponieważ kwadrat dowolnej liczby R jest liczba nieujemną, więc rozwiązaniem jest tu każda liczba rzeczywista.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE

Równanie postaci ax+bx+c=0, gdzie a0 nazywamy równaniem kwadratowym.

Aby rozwiązać równanie(postaci ax+c=0), szukamy miejsc zerowych funkcji

x ax+c

Np. a) (x-1) +(2x+4)=2x+9

x=-4 Równanie to nie ma rozwiązania, gdyż nie ma liczby R, której kwadrat jest liczbą ujemną.

b). 10(x-1)+(3x-1) =(2x+1) +(2x+3) (2x-3)

x-1=0

(x-1)(x+1)=0

x1=1 lub x2=-1 Równanie to ma dwa rozwiązania.

Nierówności kwadratowe w postaci ax+c>0 lub ax+c<0 style=""> kwadratowej. Aby rozwiązać nierówności w tej postaci, szukamy odpowiedzi na pytanie, dla jakich argumentów x funkcja x ax+c przyjmuje odpowiednio wartości dodatnie lub ujemne.

Np. x-9>0 Rysujemy wykres funkcji y= x-9

Z wykresu odczytujemy dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie

Dla x<-3 lub x>3

Np. x+4<0 Cały wykres funkcji y= x+4 jest powyżej osi x.

Oznacza to, że dla każdej wartości argumentu x wartość tej funkcji jest dodatnia. Dlatego zbiorem nierówności jest zbiór pusty.

ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH

Aby rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania lub nierówności postępujemy następująco:

1) Obieramy niewiadomą i oznaczamy ją dowolną literą, np.x.

2) Za pomocą obranej niewiadomej i danych z zadania wyrażamy wielkości występujące w zadaniu.

3) Wyszukujemy wielkość występującą w zadaniu, którą możemy opisać za pomocą niewiadomej i danych na dwa różne sposoby.

4) Układamy równanie(nierówność).

5) Sprawdzamy, które rozwiązania równania(nierówności) spełniają warunki zadania.

6) Formułujemy odpowiedź.

Np. Spośród czterech liczb każda następna jest o 4 mniejsza od poprzedniej. Iloczyn pierwszej i drugiej tych liczb jest

Rozwiązanie: x-największa z szukanych liczb

x-4 – II liczba

x-8 – III licza

x-12 – IV liczba najmniejsza

Po uwzględnieniu warunku podanego w zadaniu otrzymujemy:

x(x-4)=(x-8)(x-12)+224

16x=320

Stąd: x=20, x-4=16, x-8=12, x-12=8

Otrzymamy liczby spełniają warunki zadania, gdyż 20*16=320, 12*8=96, i 320-96=224

Odp: Szukanymi liczbami są: 20, 16, 12, 8.

UKŁADY RÓWNAŃ

Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci ax+by+c=0 (gdzie x, y – niewiadome , a, b, c – ustalone liczby a0 b0) lub równanie równoważne danemu. Równoważność równań z dwiema nie wiadomymi rozumiemy podobnie jak równoważność równań z jedną niewiadomą. Słuszne też są dla nich analogiczne twierdzenia o równoważności równań. Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniających to równanie np. 2x+y=5 sa pary (0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, -1) itp.

Takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli dane są dwa równania z dwiema niewiadomymi i szukamy par liczb, które spełniają jednocześnie każde z danych równań, to, mówimy, że dane równania tworzą układ równań. Rozwiązaniem układu równań nazywamy każdą parę liczb spełniających jednocześnie oba równania. Rozwiązać układ równań tzn. znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań.

METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ.

Graficzna
Algebraiczna

ü Metoda podstawiania,

ü Metoda przeciwnych współczynników

Metoda podstawiania

Np.

Najpierw z któregoś równania wyznaczmy jedną niewiadomą (wyrażamy za pomocą drugiej niewiadomej) i otrzymane wyrażenie podstawiamy w miejsce wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania.

Wyznaczamy y z I równania i podstawiamy w miejsce y do drugiego równania. Powstaje układ równoważny danemu.

Rozwiązujemy ten układ:

Rozwiązaniem jest para liczb (1, 2).

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda ta polega na umiejętnym wykorzystaniu twierdzenia.

Twierdzenie

Jeżeli w układzie równań dodamy stronami równania, to otrzymamy równanie, które wraz dowolnym równaniem układu tworzy nowy układ równań, równoważny danemu.

Np.

Najpierw tak mnożymy obie strony jednego (lub obu równań) przez liczbę dobraną tak, by otrzymać równania, w których współczynniki przy jednej niewiadomej będą liczbami przeciwnymi.